从守恒定律到行星轨道方程，《张背阴的物理课》推导天体运行纪律
身处地面的人们始终都不会停止对于天空的渴想 。Kepler由于他的律到律三大定律曾经被誉为“天空立法者” ，而明天，行星行纪这些定律却都能被演绎综合为Newton的轨道万有引力定律以及第二定律 。经由松散的张背数学 ，咱们不需要进入太空碰头群星就能至关精确地预料天体的物理行动 。9月24日当天 ，课推搜狐独创人 、导天董事局主席兼首席实施官 、体运物理学博士张背阴现身搜狐播主大会 ，从守为广漠粉丝播主以及物理喜爱者们带来了一场对于天体运行的恒定物理课 。
平方正比分心力场中的律到律守恒定律
普遍的行星行动受到泛滥其余天体引力的影响 。一类最罕有的行星行纪天气是恒星的品质远远大于行星的品质 ，而且其余天体的轨道摄动可漠视 。此时下场抽象为分心平方正比力场中质点的行动下场。针对于这样的分心力场 ，在其中行动的质点可能经由极坐标的方式来妨碍形貌 。艰深地 ，咱们取质点坐标为(r, θ) 。运用径向的单元矢量不难写出其位置矢量为 r= r e_r 。在这样的分心力场中，质点的第一个守恒定律正是角动量守恒 。角动量矢量为
其中m为质点的品质 ，单元矢量n=e_r x e_θ，而且咱们运用了极坐标中速率的份量方式 。这里及接下来咱们运用字母上方加一点代表对于光阴的导数，这种旗号正是来自Newton的“流数术”。角动量的守恒性同时也保障了质点行动确定是个平面行动 。咱们也可能经由引入标量l来简化这个守恒定律的服从
除了角动量守恒 ，另一个守恒定律做作是机械能守恒 。咱们这里直接写出 其中G为万有引力常数 ，M为作为力心的天体的品质 。咱们这里同样运用了极坐标系中速率的份量方式。
行星轨道方程的导出
将下面的方程联立 ，消去θ对于光阴的导数咱们可能患上到
这里依然存在r对于光阴的导数 ，咱们可能运用如下的链式纪律来将其改写为对于theta的导数
其中r’代表r对于θ的导数 。带入前面的方程并整理 ，咱们最终患上到
这个方程中仅搜罗r对于θ的导数 ，因此正是质点行动轨迹的方程，即行星轨道方程 。
行星轨道方程的求解
留意到轨道方程中仅泛起1/r相关的项，这开辟咱们做代换f=1/r 。从而咱们可能写出
从而轨道方程可能改写为对于f的方程 ，即
这个方程中泛起的f’以及f的直接平方以及开辟咱们预料解理当搜罗三角函数 。无妨设有
其中角度的偏置总可能经由公平抉择极坐标的极轴方始终消除了掉 。将这个方式带入到方程中 ，咱们患上到
这个方程假如对于恣意的角度θ都建树 ，那末只能有
从而咱们就给出了行星的轨道方程 ，有
它具备圆锥曲线的方式，其中离心率有
对于个别的约束态轨道 ，咱们有E<0 ，这象征着离心率e<1 。从而行星轨道理当为椭圆 。而假如机械能E>0 (E=0) ，那末离心率e>1 ，这使患上行星轨道成为双曲线（抛物线） ，此时行星将不具备封锁轨道 ，换言之，它将会集并恒星行动到无穷远处 。
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